追忆清华逝水年华 （之三）
学习感悟
天赋与努力 那时军乐队的同学刻苦练功，追求唯美。乐队指挥朱汉城老师经常教导大家：小号的音色应该像阳光中的一把金属粉末那样的绚丽，单簧管的音色应该像一段水晶柱那样的纯洁。大家经常探讨如何令音色更加优美，掌握繁难的指法，飚出稳定的极限高音。通过练琴，老顾对于天赋和努力的辩证关系有了切身的体会。
器乐演奏对于乐手的先天条件提出了苛刻的要求。比如圆号管身超长，反馈周期很长，号嘴狭小，音高难以控制。但是，很多交响乐都是以圆号前奏开始，例如《蓝色多瑙河》的开篇就是晨雾迷蒙中传来远方的号角，这对乐手的演奏能力和心理素质提出了严格要求。乐队的张宁同学天赋异禀，嘴型非常适合演奏圆号，很快成为圆号首席。再如演奏萨克斯，每支小拇指需要各自控制4个按键，低音萨克斯的乐手小拇指必须超乎寻常的修长。整个乐队89级只有卿山同学才有这种“百年不遇”的手指。有一次，卿山抱着低音萨克斯在练习圣桑的《天鹅之死》，抑郁的旋律描绘了宁静皎洁的月色下，一只身负重伤的白天鹅孤身只影在平静的湖面上艰难挣扎，不懈反抗命运。其中一个深沉的低音，到达萨克斯的极限低音，需要用上全部的手指，并且口唇肌肉极度放松。卿山见老顾满脸堆笑地等在一旁，于是大度地说道：“老顾，你来一口。”老顾抱过萨克斯过了一把瘾。
单簧管音色的提炼需要精深的功夫。当时，乐队的首席单簧管是陈皓同学。陈皓同学本来是建筑专业的艺术家，却又酷爱数学，经常和老顾探讨拓扑问题，后来成为杨乐夫人的研究生。记得有一次和陈同学讨论过一个接近玄学的问题：若一个拓扑空间可以表示成可数无穷多的无处稠密集之并则被称为是第一纲集，这一概念在偏微分方程理论中的意义如何。《轻骑兵序曲》中段匈牙利吉普赛雕饰调式的主题，旋律宁静而忧郁，带有悲歌的色彩。其中表现骑兵队长雅格仕回忆爱人的一段单簧管Solo，极度优美。陈皓同学将这一段叹惋凄美爱情的Solo，演奏得荡气回肠，余音绕梁。陈皓同学也酷爱里姆斯基-科萨科夫的《印度客商之歌》，那里用单簧管的音色来表现宝石闪烁的光芒，如真如幻，怅惘迷茫。在我们89级学员中，单簧管音色最为纯正优美的应该是贺音同学，在学员升级考试中，大家演奏得音高失准，气息停窒，只有她一曲东蒙民歌《牧歌》，行云流水，一气呵成，将蒙古草原天高野阔，满目苍茫的感觉表达得淋漓尽致，从此得到周乃森先生和朱汉城老师的青睐。
另一方面，乐队中也有同学凭借过人的刻苦努力，很快脱颖而出。乐队唐同学的手非常小巧，开始无法驾驭单簧管，而是从特色乐器小黑管练起。特色乐器无法担当主旋律，只能在特色华彩乐段穿透整个音乐织体突现出来。令人无比震惊的是，经过不懈努力，唐同学很快就能够娴熟自如地演奏单簧管了。这令老顾见识到了清华同学惊人的意志力。
高手境界 老顾也观察到掌握一门技艺的客观规律。开始练琴的时候，无法驾驭，笨拙而暴力，音色撕裂，难以忍受；逐渐熟能生巧，轻巧自如，柔和含蓄，悦耳动听。渐渐地，老顾理解了与刚烈高亢相比，柔韧温润才是真正高手。前几日，老顾走在曼哈顿街头，忽然间摩天大楼之间回荡起温柔的短号，连续的颤音动人心弦。不用回头老顾就知道乐手在轻揉号键，能够将刚猛的短号吹得如此饱含深情，必为高手。回头望去，但见轮椅上的一位落魄男子，行动不便，满目憔悴，正在一往情深地演奏着短号。伫立在曼哈顿街头的万丈红尘之中，老顾被这位乞丐的音乐深深打动，久已麻木的心灵忽然变得柔软起来。
后来老顾经常练习高音萨克斯，特别是Kenny G的《回家》，《我心继续》等乐曲。渐渐地，老顾明白了一个道理：Kenny G之所以被誉为萨克斯大师，并不仅仅在于他演奏技巧的高超，而是在于他的作曲。他在历史上首次将高音萨克斯从特色乐器（只负责少数华彩乐句）提升为主旋律乐器。因此，若要有所建树，必须要打破常规思想，从根本上突破。有一次，老顾在波士顿伯克利音乐学院门前（王力宏和鸟叔母校）看到一位前来踢馆的黑人音乐家，手持一把高音萨克斯，演奏姿态居然如同吹奏唢呐一般，其音乐风格更是离经叛道，狂野不羁。让老顾见识到了何谓世外高人！
浑然天成 当时乐队的顶级高手都是特招的音乐人才，从小开始的严格训练使得他们掌握了高深技巧，这在小号、双簧管这些对演奏技巧要求较高的乐器上有着充分体现。当时89级军乐队的首任队长郝佳良同学刻苦练功，每天在团委排练室练习小号，很快其长音就超过了所有同学。那时，葛广、郝佳良、陈皓我们几个经常在一起切磋演奏技巧和对音乐与数学的理解。郝同学对富有才华的作品和演绎方式的称赞就是“浑然天成”。
一般来看，音乐和数学是最能体现天赋和才华的两个领域，同时也是最为需要“童子功”的领域。后来，老顾遇到的大量数学高手都曾经受过严格训练，但是最为顶尖的大师确有几位是浑然天成的。最为广为人知的当属低维拓扑的一代宗师：比尔-瑟斯顿（Thurston）。瑟斯顿本科学习生物，因为好奇自学了数学书籍。学习之后对于传统的数学教材晦涩难解、故弄玄虚的方式充满愤怒，从而用自己独到的想象加顿悟的方式研究拓扑。三维流形的拓扑远离日常经验，彻底超出人类想象。瑟斯顿却用他非凡的想像力解决了艰深的拓扑问题，洞察了三维拓扑辉煌的理论大厦，引领了世界拓扑学潮流达数十年之久。后来，老顾有幸成为丘成桐先生的弟子。一直以来，丘先生对于自己惊人的几何直觉非常疑惑，很多时候他觉得显而易见的几何结构，一般数学家需要很久才能够真正领悟。张益唐先生有一次和老顾闲谈时也讲到，在他少年时期，令他最为困惑的问题是：他究竟和正常人是否一样。
对于这些天才，常人无法企及，那么资质平庸的人如何通过修炼，才能够真正做出力所能及的贡献，这成为老顾苦苦思索的问题。
功夫诗外 因为同时学习数学和计算机科学，逐渐地，老顾意识到很多知识体系的理论侧面和工程侧面，特别是融会贯通各个知识领域的重要性。恰如在音乐上，Kenny G的成功在于作曲和演奏；在数学中，每个领域最为根本的问题肯定都是自己领域无法解决的，必须用其他领域的知识才能解决。比如代数领域，复数域多项式方程解的存在性证明来自于拓扑领域；拓扑领域最为基本问题是庞加莱猜想和瑟斯顿猜想，其终极证明却是来自微分方程的曲率流方法。
有一次陈省身先生来清华讲演，上来就批判清华没有代数拓扑的课程。老顾深受触动，于是自学了代数拓扑。后来理解了陈先生的良苦用心：陈先生的学术成就在于融汇了微分几何与代数拓扑，开创了大域微分几何；丘成桐先生的学术成就在于融汇了微分几何和偏微分方程理论，创立了几何分析的新天地，后来将几何与理论物理相融合，在超弦理论方面做出杰出贡献。渐渐地，老顾认定了将现代几何与计算机科学相结合的方向。
现在回想，清华本科的生活并没有消磨老顾的好奇心，反而激起了对于几何的强烈热情，培养了品味，同时为以后将现代几何与计算机科学相结合的道路奠定了学术修养基础，指明了未来方向。
理论班同学
对老顾影响最大的还是理论班的同学。我们计95班13个人最大的精神特质就是“沉勇”：沉默的勇敢，为了自己真正的挚爱，勇于放弃世俗，不懈追求，坚韧不拔，九死不悔。
蒋步星同学是国际奥林匹克数学竞赛的首届中国金牌得主，还没有入学就已经闻名于世。机械领域中有着能量密度的概念，例如电池的能量密度低于汽油发动机；各种书籍也有着智力密度的概念，抽象数学的智力密度应该大于长篇小说的智力密度。只要有兴趣，蒋同学能够随时自学任何一部高智力密度的书籍，从代数几何到古典吉他总谱。有一次，蒋同学忽然觉得英语词汇量有待提高，若无其事地开背英汉词典；又有一次，蒋同学意识到酒量在现实生活中的重要性，立刻每天不懈地带着白酒去食堂，刻苦锻炼酒量。蒋步星同学的沉勇更多地体现在对人生道路的选择上。当大家都认为他会在学术上鹏程万里的时候，蒋同学毅然决然地投身到创业之中，很快就一统国内电子报表领域。李晨同学醉心于学术，放弃了成为谷歌founder的机会，其壮士断腕，苦心孤诣的学术追求，令人敬佩。娇小玲珑的王雷，放弃了波士顿金领生活，成为第一位爬上过世界七座最高峰并且到达过两极的亚洲女性，名垂史册。
当时，理论班同学经常讨论数学，蒋步星同学将其对数学的精妙理解毫无保留地和盘托出，令大家受益无穷。现在回想，依然无限感激。记得我们在数学系学习《抽象代数》，老师经常自我炫耀地说：“要想学好群论，300页的书要读30本”，这令老顾自惭形秽，自信心备受打击。回到宿舍和蒋同学讨论伽罗瓦理论，询问为什么高阶多项式方程不存在求根公式，蒋同学一句话“高阶交错群是单的”，一针见血，记忆犹新。后来，去上微分几何课，授课的年轻人上来就说：“微分几何的题如果你不会就微分一次，再不行就再微分一次，实在不行了，微分三次肯定就行了。”老顾一听居然用如此庸俗功利的讲法亵渎神圣的微分几何，立刻大怒，摔门而去，回去和蒋同学讨论自学。现在回想，可能那位老师害怕起点太高，故意讲得接地气，没想到遇到如此不谙世事的年轻人。
蒋同学酷爱古典吉他，每天在宿舍练琴长达三个小时。那时我们住在9号楼216室，北向有一扇小窗，窗外常青藤密布，遮挡了阳光。室内光线昏暗，气氛忧郁。蒋同学的剪影永远定格在记忆之中，怀抱吉他，面前摊开卓里奇的《数学分析》教程，右手在下意识地弹奏着轮指。蒋同学长发蜷曲，语言犀利，英俊狂野，桀骜不驯。当年，清华才女刘煜曾经来过我们宿舍，和老蒋有过一面之缘。几十年后，据刘同学回忆老蒋，“眼神直勾勾”。老顾认为天才给人的初次印象，一般都是这样。蒋同学非常钟爱塔雷加的《阿尔罕布拉宫的回忆》。现在回想，这首乐曲其实对老顾的学术生涯影响至深。
这首乐曲的背景如下：公元六世纪，阿拉伯帝国征服了伊比利亚半岛，在西班牙开始了长达800年的伊斯兰统治。摩尔人在西班牙的最后一座堡垒是格林纳达，格林纳达的阿尔罕布拉宫成为伊斯兰建筑的经典之作。阿尔罕布拉宫极致华丽，美艳凄绝，成为格林纳达王朝的一曲绝唱。公元14世纪，西班牙光复，伊莎贝拉女王亲率大军将摩尔人驱离格林纳达。十九世纪末，西班牙吉他演奏家和作曲家塔雷加来到格林纳达，残垣断壁，肃穆悲凉。塔雷加惆怅感伤，心绪荡漾，遂一气呵成千古名曲《阿尔罕布拉宫的回忆》。令人心碎的轮指演奏出曼陀铃的音色，宛若阵阵叹息，叹惋世态沧桑，生命无常。每天，我们昏暗的宿舍都会沉浸在愁云惨淡的哀伤之中。蒋步星的轮指日臻化境，最终赢得清华古典吉他大赛第一名。老顾经常经过曼哈顿911纪念馆，每次凭吊，都令人无限感伤，令人心碎的轮指在老顾耳畔再次萦绕。世贸中心的遗址处是两个暗无天日的深坑，倒悬的瀑布沿着黑色大理石倾泻而下。以博爱为名义的宗教使得人类陷入无际的杀戮。倡导天下大同的约翰列侬也被杀死在纽约街头。人类永远无法逃离自相残杀的悲剧。
在阿尔罕布拉宫的建筑装饰中，人们可以找到平面上所有可能的对称。由于伊斯兰文明禁止偶像崇拜，所有建筑装饰都不容许带有生命的具体形象，必须是彰显神的智慧的抽象几何模式。对称的数学描述自然是伽罗华的群论。二十世纪初叶，荷兰画家埃舍尔来到格林纳达，被阿尔罕布拉宫镶嵌图案巨大的精神力量所震撼，激发他用数十年创做了三件不朽的作品：天使与恶魔。
图1. 天使与恶魔， 埃舍尔，球面1942，欧氏平面1941 ，双曲圆盘1960。
这三件作品深刻地揭示了人性：每个人都是天使和恶魔的混合，都有善良都有丑恶，都有崇高都有卑鄙，永远挣扎，无法逃脱。第一幅作品表达了有限的球面对称，剩余两幅都是无限的欧氏和双曲对称。拓扑学家和微分几何学家证明了单值化定理，进一步揭示了埃舍尔《天使与恶魔》背后的深意：宇宙间万物，在共形变换的意义下，最终都归结为这三种对称空间中的一种，埃舍尔的作品涵盖了一切自然形状，也涵盖了一切人心，表达了宇宙中永恒的精神。阿尔罕布拉宫感动了建筑师，音乐家，画家和数学家的心灵，他们用各自的才华，表达了对永恒的追求。
如同《阿尔罕布拉宫的回忆》，埃舍尔的《天使与恶魔》深深地震撼了老顾。对于世界上绝大多数的文化宗教而言，其核心主题都是人性善恶交织，永远缠斗。中国上古的太极图，本质上也是表达类似思想。太极图的阴阳双鱼象征着善恶，具有旋转对称。但是，阴阳双鱼的对称群只有两个元素，远小于埃舍尔的《天使与恶魔》中表现的无穷阶对称群。埃舍尔的《天使与恶魔》在共形意义下统摄了世间万物，因此其精密程度远远高于阴阳双鱼。道教文化满足于哲学层面和美学层面的阐述，“道可道，非常道”，“玄而又玄，众妙之门”。数学的发展就是为了将玄虚的哲学定量成精确的数学。那时，老顾觉得对于曲面几何而言，众妙之门就在于《天使与恶魔》背后的数学定理：单值化。
音乐家走过，数学家走过，画家走过，老顾受此感召，决意用自己计算机科学家的独特方式来表达内心的虔诚：将抽象的单值化定理转换成离散的计算机算法。差不多经历二十年，老顾和朋友们终于建立了离散理论，从此单值化不再神秘莫测，从神坛落入人间。老顾最终体悟到了何谓天人合一的境界。
图2. 单值化定理，世间万物，最终归结为三种标准空间中的一种。
尾声
清华本科，同学们都是至善至纯，追求深刻，追求唯美，为了理想主义付出了巨大的热情和心血。多少年来，老顾一直疑惑，清华同学们的横溢才华，卓绝努力是否最终烟消云散，在历史长河中无影无踪？蒋步星同学炉火纯青的轮指绝技是否真的改变了世界？
后来，李健来纽约巡演，“音乐诗人”清华式的忧郁令人倍感亲切。《梦一场》的吉他前奏，令人心碎的轮指响起，宛若《阿尔罕布拉宫的回忆》，在林肯音乐厅久久萦绕。老顾终于释然：蒋步星的轮指技艺推动了当年清华古典吉他的艺术氛围，在李健的生命中留下了深刻的烙印，潜移默化地融入到李健的音乐创作之中，最终载入了中国现代音乐史册。
每个人的心血，每个人的坚持和努力，融入到时代潮流之中，最终推动了历史的发展。如果说雪崩中没有一片雪花是无辜的，那么历史浪潮中每一朵浪花都有其独特价值！
（全文完）
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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。
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